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March 26, 2020

Question. when does a morphism of schemes send a closed point to a closed point?

1) Integral Morphisms

This amounts to saying that

$B/A$ integral extension, then

$B$ is a field if and only if

$A$ is a field.

2) Projective => Proper => Closed => preserves closed point.

Reference. mathSE post

Let

$X$ be a scheme of finite type over a finite (or algebraically closed) field

$k$ . Let

$K$ be a finite extension of

$\mathbb{Q}_p$ with residue field

$k$ .

We would like to define

$D_c^b(X, \overline{\mathbb{Q}}_l)$ .

1)

$D_c^b(X, \mathcal{O}_r)$ where

$\mathcal{O}_r$ is

$\mathcal{O}/\pi^r \mathcal{O}$ .

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Max-Spec vs Spec

March 27, 2020

This is an article on why using Max-Spec and Spec do not matter much if the ring

$A$ is a Jacobson ring. Definition. A ring

$A$ is a Jacobson ring if every prime ideal of

$A$ is an intersection of maximal ideals. In other words,

$\mathrm{Nil}(A) = \bigcap_{\mathfrak{p}} \mathfrak{p} = \bigcap_{\mathfrak{m}} \mathfrak{m} = \mathrm{Jac}(A)$ Proposition. Let

$X =\mathrm{Spec}(A)$ and

$X_0 = \mathrm{MaxSpec}(A)$ , i.e. the set of closed points of

$X$ . The

$X_0$ is a very dense subset of

$X$ . We show that some topological properties are preserved. Let's first describe what it means for

$\mathrm{Spec}(A)$ to be disconnected. By this means that there exist disjoint closed subsets

$V(I)$ and

$V(J)$ that cover

$\mathrm{Spec}(A)$ . In other words, 1)

$V((0))=\mathrm{Spec}(A) = V(I) \cup V(J) = V(I \cap J)$ . 2)

$V((1)) = \varnothing = V(I) \cap V(J) = V(I + J)$ . This is same as saying that 1') $\sqrt{I \cap J} = \sqrt{(0)} = \mathrm{Nil}(A...

함수와 무한대2

June 01, 2017

Functions and Infinity 여태까지 추상적인 이야기만 했기 때문에 예를 한번 들어보겠다. 집합

$A = \{ a,b,c \}$ 와 집합

$B = \{ 1, 2, 3 \}$ 이 있다. 함수

$f: A \rightarrow B$ 를 다음과 같이 정의 하자.

$f(a) = 1, f(b) = 2, f(c) = 3$ 수학자들은

$f$ 를 반복해서 쓰는 대신 다음과 같은 표현도 쓴다.

$a \mapsto 1, b \mapsto 2, c \mapsto 3$ 여기서 우리는 모든 A의 원소가 유일한 B의 원소와 쌍이 되는 것을 볼 수 있다. 집합의 두 개의 크기를 비교하는 것은 이 방법을 적용시킨것이라고 생각하면 된다. 만약

$A$ 에 있는 모든 원소를

$B$ 에 있는 원소와 겹치지 않게 쌍을 지었는데

$B$ 의 원소가 남았다면 우리는 당연히

$B$ 가 더 크다고 이야기 할 것이다. 반대의 경우로는

$A$ 에 있는 모든 원소와

$B$ 원소와 쌍을 지으려고 했지만

$B$ 의 원소가 모자라는 경우에는

$A$ 가 더 크다고 이야기 한다. 이를 수학적으로 다시 이야기를 하게 된다면,

$f$ 에서

$f(a) = f(b) \Rightarrow a = b$ 가 성립할 경우 우리는

$f$ 를 단사함수(Injective Function)이라고 부른다. 모든

$b \in B$ 에 대하여

$f(a) = b$ 인

$a \in A$ 가 존재할 경우, 우리는

$f$ 를 전사함수(Surjective Function)이라고 부른다. 엄밀하지 않게

$|A|$ 를 집합

$A$ 의 크기 혹은 농도라고 정의 하자. 이 글의 맨 처음 예에서는 직관적으로 두 집합의 크기가 똑같은 것을 알 수 있다. 만약 단사 함수

$f: A \rightarrow B$ 가 존재하게 된다면 우리는

$|A| \leq |B|$ 라고 표현한다. 반대로, 전사 함수 \( f: ...

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