함수와 무한대 1



중학생에 수학을 배울 당시에는 함수는 단지 y=f(x)에 불과했다. 그저 뭔가를 집어넣으면 뭔가 튀어나오는 자동판매기였지만 두 가지의 수학적 물체 사이의 관계를 나타내 준다는 것을 깨달았다. 함수를 관계로 보는 시각은 범주론(Category Theory)를 배우다보면 더욱 명확해 진다.

집합(Set)은 원소(Elements)의 모임이다. 보통 대문자 A,B,C를 사용해 집합을 표현하고 원소 a가 집합 A에 있을 경우 a∈A라고 쓰고 a 는 A안에 있다라고 말한다. 집합 A 와 B가 있을 때, 모든 a∈A 에 대하여 유일한 b∈B가 있을 경우 이 "법칙"을 f라고 부르고 f(a)=b라고 쓴다. 여기서 좀 더 들어가게 되면,

집합 A,B를 이용해서 다음과 같은 집합을 정의할 수 있다.
A×B{(a,b) | a∈A,b∈B}

함수 f 는 A×B의 부분집합인데, 다음이 성립한다.

만약 (a,b1),(a,b2)∈A×B  이면   b1=b2

함수는 위에서 말했던 관계의 일종인데, 관심있는 사람들은 여기를 참고하자. 위가 성립을 하게 되면 우리는 f(a)=b라고 쓸 수 있다. 만약 f가 A×B의 부분집합이면 이를 우리는 f:A→B라고 쓴다.

후에 함수를 정의할때 중요한것은 well-defined를 보여주는 것이다. 직역을 하자면 정정(正定)인데 함수가 "말이 된다"라는 것을 보여주는 것이다. 일반적으로 두 가지 정도를 체크해줘야된다. 그 전, 만약 f가  A→B일 경우에 우리는 A를 정의역(Domain), B를 공역(Codomain)이라고 부른다. f(a)를 a 의 f 에 대한 상(Image)라고 부른다.

1) 정의역의 모든 원소들의 f의 대한 상이 전부 공역 B 안에 있어야 한다.
2) 모든 정의역의 있는 원소 a에 대해서 상 f(a)는 유일해야 한다.

1)의 경우 만약 f:Q→Q이면  f(x)=√x는 well-defined가 아니다. 분명 2∈Q임에도 불구하고 그의 상인 √2는 무리수임으로 공역인 Q안에 있지 않기 때문이다.

2)의 경우, 좀 말도 안되는 예라고 생각할 수도 있겠지만, 비슷하게f:Q→Q 에 f(x)= 제곱해서 x가 되는 유리수, 라고 정의를 해버리면 f(1)=1 이나 f(1)=−1가 성립한다. 하지만 이는 "유일성"을 위반하기 때문에 함수가 될 수가 없다. 이는 후에 합동 산술(Modular Arithmetic)을 접하게 되면 더욱 마음에 와 닿을 것이다.

함수는 집합의 크기를 비교하는데 가장 적용성이 좋은 방법을 제공한다.

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