함수와 무한대 1

중학생에 수학을 배울 당시에는 함수는 단지 \( y=f(x) \)에 불과했다. 그저 뭔가를 집어넣으면 뭔가 튀어나오는 자동판매기였지만 두 가지의 수학적 물체 사이의 관계를 나타내 준다는 것을 깨달았다. 함수를 관계로 보는 시각은 범주론(Category Theory)를 배우다보면 더욱 명확해 진다.

집합(Set)은 원소(Elements)의 모임이다. 보통 대문자 \( A, B, C \)를 사용해 집합을 표현하고 원소 \( a \)가 집합 \( A \)에 있을 경우 \( a \in A \)라고 쓰고 \( a \) 는 \( A \)안에 있다라고 말한다. 집합 \( A \) 와 \( B \)가 있을 때, 모든 \( a \in A \) 에 대하여 유일한 \( b \in B \)가 있을 경우 이 "법칙"을 \( f \)라고 부르고 \( f(a) = b \)라고 쓴다. 여기서 좀 더 들어가게 되면,

집합 \( A, B \)를 이용해서 다음과 같은 집합을 정의할 수 있다.
\[ A \times B  \{ (a,b) ~|~ a \in A, b \in B \} \]

함수 \( f \) 는 \( A \times B \)의 부분집합인데, 다음이 성립한다.

만약 \( (a, b_1), (a, b_2) \in A \times B~\) 이면  \(~b_1 = b_2 \)

함수는 위에서 말했던 관계의 일종인데, 관심있는 사람들은 여기를 참고하자. 위가 성립을 하게 되면 우리는 \( f(a) = b \)라고 쓸 수 있다. 만약 \( f \)가 \( A \times B \)의 부분집합이면 이를 우리는 \( f: A \rightarrow B \)라고 쓴다.

후에 함수를 정의할때 중요한것은 well-defined를 보여주는 것이다. 직역을 하자면 정정(正定)인데 함수가 "말이 된다"라는 것을 보여주는 것이다. 일반적으로 두 가지 정도를 체크해줘야된다. 그 전, 만약 \( f \)가  \( A \rightarrow B \)일 경우에 우리는 \( A \)를 정의역(Domain), \( B \)를 공역(Codomain)이라고 부른다. \( f(a) \)를 \( a \) 의 \( f \) 에 대한 상(Image)라고 부른다.

1) 정의역의 모든 원소들의 \( f \)의 대한 상이 전부 공역 \( B \) 안에 있어야 한다.

2) 모든 정의역의 있는 원소 \( a \)에 대해서 상 \( f(a) \)는 유일해야 한다.

1)의 경우 만약 \( f: \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Q} \)이면  \( f(x) = \sqrt{x} \)는 well-defined가 아니다. 분명 \( 2 \in \mathbb{Q} \)임에도 불구하고 그의 상인 \( \sqrt{2} \)는 무리수임으로 공역인 \( \mathbb{Q} \)안에 있지 않기 때문이다.

2)의 경우, 좀 말도 안되는 예라고 생각할 수도 있겠지만, 비슷하게\( f: \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Q} \) 에 \( f(x) = \) 제곱해서 \( x \)가 되는 유리수, 라고 정의를 해버리면 \( f(1) = 1 \) 이나 \( f(1) = -1 \)가 성립한다. 하지만 이는 "유일성"을 위반하기 때문에 함수가 될 수가 없다. 이는 후에 합동 산술(Modular Arithmetic)을 접하게 되면 더욱 마음에 와 닿을 것이다.

함수는 집합의 크기를 비교하는데 가장 적용성이 좋은 방법을 제공한다.