Yoshida - Non-abelian Lubin-Tate 7



  • Now we would like to study the special fiber of $X:=\mathrm{A}$ over $S:=\mathrm{Spec}~W$. We denote the special fiber by $X_s:= X \times_S \mathrm{Spec}~\overline{k}$, i.e. the fiber of the special point (the maximal ideal). Sine this is simply just reducing mod $\pi$, combining with the result from the previous post where we computed the explicit formula for $A$, we obtain that

    \[ X_s = \mathrm{Spec}~ \overline{k}[[\widetilde{X}_1, \ldots, \widetilde{X}_n]]/ \left ( \prod_{\underline{a} \in k^n \backslash \{ 0 \}} (P_{\underline{a}} ~\mathrm{mod}~ \pi ) \right ) \]
  • Let $Y_{\underline{a}}$ to be the closed subscheme of $X_s$ defined by $P_{\underline{a}} ~\mathrm{mod}~\pi = 0$. Equivalently, this is simply the closed subscheme of $X$ defined by $P_{\underline{a}} = 0$.
  • It can be shown that $Y_{\underline{a}} = Y_{\underline{a'}}$ if and only if $a$ is a scalar multiple of $a'$ by some element in $k^\times$. Therefore, we can label the irreducible component of $X_s$ by $\underline{a} \in k^n \backslash \{ 0 \}$. As one can guess, this looks a lot like the projective space over $k$, so we may establish the following bijection.
  • Let $\mathbb{P}$ denote the projective space over $\overline{k}$. Then for each $\underline{a} \in k^n \backslash \{ 0 \}$, we can define a $k$-rational hyperplane
    \[ M_{\underline{a}} : a_1 X_1^* + \cdots + a_n X_n^* = 0 \]
    where $X_i^*$ is the projective coordinate for $\mathbb{P}$. Define $Y_M = Y_{\underline{a}}$ for $M=M_{\underline{a}}$. This establishes a bijection between $k$-rational hyperplanes and the irreducible components of $X_s$. In particular, there exists $\frac{q^{n}-1}{q-1}$ many irreducible components.
  • We will identify $\mathbb{P}$ as the exceptional divisor of the first blow up.

Blow-ups

Reference: Gortz pg 409 - 411.
  • (Gortz) $X$ be a scheme and $Z$ be a closed subscheme of $X$. We define the blow-up of X along Z to be a morphism $p: X' \to X$ such that $p^{-1}(X)$ is a effective Cartier divisor. $p$ is universal in the following sense: if $p': X'' \to X$ is a morphism such that $p'^{-1}(X)$ is an effective Cartier divisor, then there exists a map $f: X'' \to X'$ such that $p' = p \circ f$.
    • $p^{-1}(Z)$ is called the exceptional divisor of the blow-up. 
    • Denote $Bl_Z(X)$ to be the blow-up of $X$ along $Z$ and $f: X' \to X$ a morphism of schemes. Then there exists a unique morphism $Bl_Z(f) : Bl_{f^{-1}(Z)}(X') \to Bl_Z(X)$ such that the following diagram commutes.
      $\require{AMScd}$
      \[ \begin{CD} Bl_{f^{-1}(Z)}(X') @>{Bl_Z(f)}>>  Bl_Z(X) \\ @VVV @VVV \\ X' @>{f}>> X \end{CD}  \]
    • The above diagram becomes Cartesian if $f$ is flat.
  • [Explicit Construction] Let $Z$ correspond to some quasi-coherent  sheaf of ideals $\mathcal{I}$. We denote $\mathcal{I}^n$ to be the $n$th power of $\mathcal{I}$ with $\mathcal{I}^0:=\mathcal{O}_X$. Then consider $X' = \mathrm{Proj} \bigoplus_{n \geq 0} \mathcal{I}^n$. As $\bigoplus \mathcal{I}^n$ is a $\mathcal{O}_X$-algebra, we obtain a structure morphism $p: X' \to X$. 
    • The exceptional divisor also has an explicit form. It is
      \[ \mathrm{Proj} \bigoplus_{n \geq 0} \mathcal{I}^n/\mathcal{I}^{n+1} \]
  • Further assume that $\mathcal{I}$ is of finite type. This happens when $X$ is locally Noetherian. Then we have that $Bl_Z(X)$ is projective over $X$.

Regular Immersion

Reference: Tag 01AL, Tag 01B1 (Locally generated), Section 30.20-21
  • Let $(X, \mathcal{O}_X)$ be a ringed space. $\mathcal{F}$ be a sheaf of $\mathcal{O}_X$-modules. A (global section) $s \in \Gamma(X, \mathcal{F})$ induces a map $\mathcal{O}_X \to \mathcal{F}$ defined by $ f \mapsto fs$. We say that $\mathcal{F}$ is generated by sections $(s_i)$ if there exists $s_i \in \Gamma(X, \mathcal{F})$ such that
    \[ \bigoplus_{i \in I} \mathcal{O}_X \to \mathcal{F} \]
    is surjective. 
  • The support of $\mathcal{F}$ is the set of $x \in X$ such that $\mathcal{F}_x \neq 0$. It is denoted by $\mathrm{Supp}(\mathcal{F})$.
  • Let $(X, \mathcal{O}_X)$ be a ringed space. We say that $\mathcal{F}$, a sheaf of $\mathcal{O}_X$-modules, is locally generated by sections if  for every $x \in X$, there exists an open neighborhood $U$ of $x$ such that $\mathcal{F}|_U$ is (globally) generated generated as $\mathcal{O}_U$-module.
  • Recall that if $R$ is a ring, then $f_1, \ldots, f_r \in R$ is called a regular sequence if $f_i$ is not a zero divisor in $R/(f_1, \ldots, f_{i-1})$ and $R/(f_1, \ldots, f_r) \neq 0$.
  • Let $\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X$ be a sheaf of ideals. We say that $\mathcal{I}$ is regular if for all $x \in \mathrm{Supp}(\mathcal{O}_X/\mathcal{I})$, there exists an open neighborhood of $x$, denoted $U \subset X$ and a regular sequence $f_1, \ldots, f_r \in \mathcal{O}_X(U)$ such that $\mathcal{I}|_U$ is generated by $f_1, \ldots, f_r$.
  • Given an immersion $f: Y \to X$. We don't have a unique corresponding quasi-coherent sheaf as we did for closed immersion. Let $Y$ be a closed subscheme of $U$ for some open subscheme $U$ of $X$. There exists $\mathcal{I}$ a quasi-coherent sheaf of ideals corresponding to $Y$ as a closed subscheme of $U$. If $U'$ is another open subscheme of $X$ such that $Y$ is a closed subscheme of, let $\mathcal{I}'$ the corresponding quasi-coherent sheaf of ideals. Then we have the following
    • $\mathcal{I}|_{U \cap U'} = \mathcal{I}'|_{U \cap U'}$,
    • $\mathcal{I}$ is regular if and only if $\mathcal{I}'$ is regular.
  • We say that an immersion $Y \to X$ is regular if the corresponding quasi-coherent sheaf $\mathcal{I}$ is regular.

Codimension

Reference: Gortz, pg 128
  • [Irreducible, closed] Let $Z \subset X$ be a closed irreducible subset of $X$. Then codimension of $Z$ in $X$ is the supremum of the length of chains of irreducible closed subsets $Z_0 \supsetneq \cdots \supsetneq Z_l = Z$.
  • [Closed] Let $Z \subset X$ be a closed set. Then we say that $Z$ has codimension $r$ in $X$ if for all irreducible component of $Z$ has codimension $r$ in $X$.  
  • [Arbitrary] Let $Y \subset X$ be an arbitrary subset. Then we define codimension of $Y$ in $X$ to be the infimum of $\mathrm{dim}~\mathcal{O}_{X,y}$ where infimum runs through $y \in Y$.
  • (Yoshida) Let $Y \subset X$ be a regular immersion of codimension $r$, then this is equivalent to saying that $\mathcal{I}$ is locally generated by a regular sequence of sections of $\mathcal{O}_X$ of length $r$.
    • Here why and how do we say that it is "locally generated"?

Commutativity

  • Let $f: Z \to X$ be a flat morphism. Let $Y \subset X$ be a closed subscheme with sheaf of ideals $\mathcal{I}$ and $X' = Bl_Y(X)$. Then if $\mathcal{I}' = \mathrm{Im}(f^* \mathcal{I} \to \mathcal{O}_Z)$ where $f^* \mathcal{I} := f^{-1} \mathcal{I} \otimes_{f^{-1} \mathcal{O}_X} \mathcal{O}_Z$ and $Z':= Bl_\mathcal{I}'(Z)$ with abuse of notation. Then the map $Z' \to Z \times_X X'$ given by universality is an isomorphism.
  • Let $\widehat{X}_x = \mathrm{Spec} \widehat{\mathcal{O}}_{X,x}$, the spectrum of a completion (a completion of strict henselianization) of the local ring of $X$ at $x$. Let $X_x'$ be the blow-up of $\widehat{X}_x$ along $\mathcal{I} \mathcal{O}_{\widehat{X}_x}$. Then we have an isomorphism $X_x' \to \widehat{X}_x \times_X X'$.
    • Need to check how we get a flat morphism $f: \widehat{X}_x' \to X$ and why $\mathrm{Im}(f^* \mathcal{I} \to \mathcal{O}_{\widehat{X}_x}) = \mathcal{I} \mathcal{O}_{\widehat{X}_x}$.

Comments

Post a Comment

Popular posts from this blog

The topology of the p-adic numbers 3

Let \( G \) be a topological space and let \( H \) be a subspace of \( G \) endowed with the subspace topology. Then \( H \times H \) endowed with the product topology is same as the subspace topology of \( H \times H \subset G \times G \) with \(G \times G \) endowed with the product topology due to: \[ (U_1 \cap H) \times (U_2 \cap H) = (U_1 \times U_2) \cap (H \times H) \] Let \( G \) be a topological group with a subgroup \( H \). We would like to show that \( H \) endowed with the subspace topology is also a topological group. Let \( p_G \) denote the product map. in \( G \) and \( p_H \) denote the product map in \( H \). We want to show that \( p_H \) is continuous. Let \( U \) be an open set in \( H \), then \(U = U_G \cap H \) for some open set \( U_G \) in \( G \). \[ \begin{array}{lcl} p_H^{-1}(U) & = & \{ (h_1, h_2) \in H \times H ~|~ h_1h_2 \in U \} \\ & = & \{ (g_1, g_2) \in G \times G ~|~ g_1g_2 \in U_G \} \cap H \times H \\ & = & p_G^{-1}(U_G) \
Read more

함수와 무한대 1

중학생에 수학을 배울 당시에는 함수는 단지 \( y=f(x) \)에 불과했다. 그저 뭔가를 집어넣으면 뭔가 튀어나오는 자동판매기였지만 두 가지의 수학적 물체 사이의 관계를 나타내 준다는 것을 깨달았다. 함수를 관계로 보는 시각은 범주론(Category Theory)를 배우다보면 더욱 명확해 진다. 집합(Set)은 원소(Elements)의 모임이다. 보통 대문자 \( A, B, C \)를 사용해 집합을 표현하고 원소 \( a \)가 집합 \( A \)에 있을 경우 \( a \in A \)라고 쓰고 \( a \) 는 \( A \)안에 있다라고 말한다. 집합 \( A \) 와 \( B \)가 있을 때, 모든 \( a \in A \) 에 대하여 유일한 \( b \in B \)가 있을 경우 이 "법칙"을 \( f \)라고 부르고 \( f(a) = b \)라고 쓴다. 여기서 좀 더 들어가게 되면, 집합 \( A, B \)를 이용해서 다음과 같은 집합을 정의할 수 있다. \[ A \times B  \{ (a,b) ~|~ a \in A, b \in B \} \] 함수 \( f \) 는 \( A \times B \)의 부분집합인데, 다음이 성립한다. 만약 \( (a, b_1), (a, b_2) \in A \times B~\) 이면  \(~b_1 = b_2 \) 함수는 위에서 말했던 관계의 일종인데, 관심있는 사람들은 여기 를 참고하자. 위가 성립을 하게 되면 우리는 \( f(a) = b \)라고 쓸 수 있다. 만약 \( f \)가 \( A \times B \)의 부분집합이면 이를 우리는 \( f: A \rightarrow B \)라고 쓴다. 후에 함수를 정의할때 중요한것은 well-defined를 보여주는 것이다. 직역을 하자면 정정(正定)인데 함수가 "말이 된다"라는 것을 보여주는 것이다. 일반적으로 두 가지 정도를 체크해줘야된다. 그 전, 만약 \( f \)가  \( A \rightarrow B \)일 경우에 우리는 \( A \)를 정
Read more

RSA 암호 1. 개요

수학자들 중에서 정수론을 전문적으로 공부하는 사람을 정수론자라고 한다. 워낙 추상적인 개념을 많이 다루는 직업이기에 매번 "그래서 정수론을 배워서 뭐에 써먹는데?" 라는 질문을 자주 받게 된다. 솔직히 말하면 정수론이 실생활에 응용되어 쓰여지는 일은 드물다. 하지만 컴퓨터의 등장 이후, 모듈러 산술을 이용해 암호론에 정수론에 적용되기 시작되었다. 그 중에서 RSA 암호에 대해서 설명해보려고 한다. 정수론에 대해서 이야기 하기 전에 먼저 암호에 대해서 이야기 해보자. 다음 용어를 숙지해두자. 용어정리 평문 : 보호해야 할 메세지 암호문 : 평문을 특정 대상 외에는 이해하지 못하게 변환한 메세지 암호화 : 평문을 암호문으로 바꾸는 과정 복호화 : 암호문을 평문으로 바꾸는 과정 기본적으로 우리는 다음을 하고 싶다. 김씨가 박씨에게 비밀 메세지를 보내고 싶다고 하자. 1. 김씨는 평문을 암호화 하여 암호문을 만든다. 2. 김씨는 암호문을 박씨에게 넘긴다. 3. 박씨는 김씨의 암호문을 받아 복호화를 하여 평문을 읽는다. 두 사람이 다른 사람에게 들키지 않고 비밀 메세지를 주고 받는 방법에 대해서 생각해보자. 일단 가장 간단한 방법은 두 사람이 같은 "키"를 가지고 있는 것이다. 대칭키 암호 (Symmetric-Key Cryptography) 예시 1 자물쇠가 달린 상자로 비유해보자. 김씨와 박씨는 다른 사람은 보지 못하게 비밀 메세지를 교환하고 싶다. 이를 위해서 그들은 자물쇠가 달린 상자를 구매했고 서로 같은 키를 구매했다. 1. 김씨는 비밀 메세지 (평문)을 상자에 넣어 자물쇠를 채운다 (암호화). 2. 김씨는 상자 (암호문)을 박씨에게 넘긴다. 3. 박씨는 김씨의가 보낸 상자를 키를 이용해서 자물쇠를 연다 (복호화). 이와 같이 김씨와 박씨가 같은 키를 쓰는 것을 대칭 키 암호 (Symmetric-Key Algorithm) 이라고 부른다. 만약 박씨가
Read more